第六十三章 祖暅原理（1/2）

“我给你介绍一个祖暅原理。”

回到内室，马俍便于桌前坐下，拿出昨晚为了给两女解说而幻化的纸笔。

“古时候有个数学家也是天文学家叫祖冲之，他有个儿子叫祖暅，两父子便是计算球体积的祖师爷，他们发明的这个原理后来便叫祖暅原理。”

马俍在纸上写下祖氏父子名字，秦眉不感兴趣，便去收拾房间，整理新床铺了，刘伶倒是很有兴致，陪玉河一起学习。

“这个原理的内容是‘幂势既同，则积不容异’。‘幂’是截面积，‘势’是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相同，则体积相等。”

马俍顺手拿出抽屉内昨晚用于演示的一叠硬币，叠成各种模样的柱形：“比如这个硬币叠成的圆柱，虽然形状不一样，但是在每一层始终是等大的那个硬币，总体积便等于所有硬币的体积之和，始终不变。这就是幂势相同，体积也相同。”

“嗯，明白。”玉河点头应道，刘伶亦微笑同意。

“如果我们画一个半径为r的半球，”马俍在纸上作图，画了一个底面朝下的半球，“再以球底面为底，画一个外切圆柱体，然后再画圆柱体的内切正圆锥。”

马俍以圆柱体上底面为底，下底面圆心为顶，作了一个正圆锥。

“你已经自学了简单的三角函数，我们取底面高h处作图，设圆半径与底面夹角为θ，则可知该高度球的截面积为π(rcosθ)2，”马俍继续在图上画出一根辅助线，“现在我们作出该高度圆锥面的半径，和高度h恰好构成一个45o角。于是我们可以知道该高度圆锥面积为π(rsinθ)2，而在同一高度，圆柱的截面积是πr2，于是得到，π(rcosθ)2=πr2-π(rsinθ)2，说明等高处，球的截面积等于圆柱的截面积减去圆锥的截面积。

“由祖暅原理，假设我们已经知道圆锥的体积，那么半球的体积便等于圆柱的体积减去圆锥的体积，进一步便可求出球的体积。”

“终于明白了，谢谢殿下！”玉河点头，脸上露出轻松的惬意。

“三角函数是什么？”刘伶表示没懂。

“这个书里有。”玉河举起《初等数学》塞到刘伶手中，“等下我们可以讨论。”

“好的，谢谢妹妹。”刘伶微微笑道。

“不客气。”玉河对这个美丽的姐姐顿生好感。

“还有问题吗？”马俍见两人对上了眼，亦很高兴。

“还有还有！”玉河连忙说道，“关于这个正圆锥体体积，我是这样处理的，我将半径、高与母线所构成的直角三角形，绕高旋转一周，则只需要用这个三角形面积乘以某一点的路径长度就可以求出体积。只是这个点找不好。”

“重心。三条中线的交点，因其与均匀等厚三角形薄板的物理重心重合而得名，进一步说，这个点就是代替整个三角形面旋转的那一点。所以只需算出它的旋转周长，就可以计算出圆锥体的体积。”马俍解释道。

“物理重心又是什么？”玉河问道。

“这是物理学内容，你先把数学了解一遍，我再给你教材。”

“好，这个我可以自己再算。那么如果是斜圆锥体呢？体积如何处理？”玉河追问。